이해하기 어려운 '아인슈타인'이 오랜 수학 문제를 해결하다

그리고 모든 것은 "모양을 만지작거리고 실험하는" 취미생활자로부터 시작되었습니다.

"비주기적 단분위수" 또는 아인슈타인은 반복되지 않는 패턴으로 무한한 평평한 표면을 타일로 배열한 모양입니다. 새로운 논문의 저자들은 그들의 아인슈타인을 페도라와 닮았기 때문에 "모자"라고 불렀습니다. 크레딧...Craig Kaplan

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시오반 로버츠

지난 11월, 10년 간의 실패한 시도 끝에 영국 이스트 요크셔의 브리들링턴(Bridlington)에서 자칭 도형 애호가인 데이비드 스미스(David Smith)는 마침내 타일링 수학의 미해결 문제를 해결했을지도 모른다고 의심했습니다. '아인슈타인'을 발견했습니다.

덜 시적인 용어로 말하면, 아인슈타인은 "비주기적 단분위수", 즉 평면을 타일로 덮은 모양 또는 무한한 2차원 평면이지만 반복되지 않는 패턴일 뿐입니다. ("아인슈타인"이라는 용어는 독일어 "ein stein" 또는 "하나의 돌"에서 유래되었습니다. 더 느슨하게 말하면 "하나의 타일" 또는 "하나의 모양"입니다.) 일반적인 벽지나 타일 바닥은 주기적으로 반복되는 무한 패턴의 일부입니다. ; 이동하거나 "변환"하면 패턴이 그 자체에 정확히 겹쳐질 수 있습니다. 비주기적 타일링은 그러한 "병진 대칭"을 나타내지 않으며 수학자들은 오랫동안 그러한 방식으로 평면을 타일링할 수 있는 단일 모양을 추구해 왔습니다. 이것을 아인슈타인 문제라고 합니다.

인쇄 기술자 등으로 일했다가 일찍 퇴직한 스미스(64세)는 "나는 항상 모양을 만지작거리고 실험한다"고 말했다. 그는 고등학교 때 수학을 좋아했지만 수학에 탁월하지는 못했다고 말했습니다. 그러나 그는 오랫동안 아인슈타인 문제에 "강박적으로 흥미를 느꼈다".

그리고 이제 Smith 씨와 수학적 및 계산 전문 지식을 갖춘 세 명의 공동 저자가 작성한 새로운 논문이 Smith 씨의 발견이 사실임을 입증했습니다. 연구원들은 아인슈타인이 페도라와 닮았다고 해서 '모자'라고 불렀습니다. (Smith 씨는 종종 머리에 두건을 묶었습니다.) 이 논문은 아직 동료 검토를 거치지 않았습니다.

"이것은 놀라운 발견인 것 같습니다!" 뉴욕타임스가 제공한 논문의 초기 사본을 읽은 듀크 대학의 물리학자 조슈아 소콜라(Joshua Socolar)는 이메일에서 이렇게 말했습니다. "저에게 가장 중요한 측면은 타일링이 우리가 이해하는 친숙한 구조 클래스에 명확하게 속하지 않는다는 것입니다."

"수학적 결과는 몇 가지 흥미로운 물리학적 질문을 불러일으킵니다."라고 그는 덧붙였습니다. "이러한 유형의 내부 구조를 가진 재료를 접하거나 제작하는 것을 상상할 수 있습니다." Socolar 박사와 Tasmania의 Burnie에 있는 독립적인 연구원인 Joan Taylor는 이전에 단절된 조각들로 만들어진 육각형 단일 타일을 발견했는데, 일부에 따르면 이는 규칙을 확장했습니다. (그들은 Socolar-Taylor 타일의 연결된 3D 버전도 발견했습니다.)

처음에 수학적 타일링 추구는 다음과 같은 광범위한 질문에 의해 동기가 부여되었습니다. 평면을 비주기적으로만 타일링할 수 있는 모양 세트가 있었습니까? 1961년에 수학자 왕하오(Hao Wang)는 그러한 집합이 불가능하다고 추측했지만 그의 학생 로버트 버거(Robert Berger)는 곧 그 추측이 틀렸다는 것을 증명했습니다. Berger 박사는 20,426개의 타일로 구성된 비주기적 세트를 발견했으며 그 이후에는 104개의 타일 세트를 발견했습니다.

그런 다음 게임은 다음과 같이 되었습니다. 몇 개의 타일이 트릭을 수행할 수 있습니까? 1970년대에 블랙홀 연구로 2020년 노벨 물리학상을 수상한 옥스퍼드 대학교 수리물리학자 로저 펜로즈 경은 그 숫자를 2로 줄였습니다.

이후 다른 사람들은 두 개의 타일에 대한 모양을 찾았습니다. 논문의 또 다른 저자이자 아칸소 대학교 교수이자 뉴욕 국립수학박물관에서 봉사활동 수학자직을 맡고 있는 Chaim Goodman-Strauss는 "나도 한 두 권의 내 책을 갖고 있다"고 말했습니다.

그는 흑백 사각형도 친숙한 주기적인 체커보드 패턴 외에도 이상한 비주기적인 패턴을 만들 수 있다는 점에 주목했습니다. "이상하고 흥미로운 패턴을 만들 수 있다는 것은 정말 사소한 일입니다."라고 그는 말했습니다. 두 펜로즈 타일의 마법은 비주기적인 패턴만 만든다는 것입니다. 그게 그들이 할 수 있는 전부입니다.